Semoga Bermanfaat

Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata΄ala, karena berkat rahmat-Nya kami bisa menyelesaikan Blog ini

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga blog ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. blog ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harapkan demi sempurnanya makalah ini.

Semoga blog ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Surabaya 19 Okt 2012


Penyusun

https://www.facebook.com/Miftah.boneka

Read More

Kumpulan Puisi

Kumpulan Puisi

Read More

Kumpulan puisi romantis, so sweet, indah

BIDADARI TANPA SAYAP

Kelembutan hatinya membuatku terpana. . .
Melihat kehindahan Rembulan,
Sama seperti melihat keindahan wajahnya.

Sungguh kuat dia menghadapi ini semua. . .
Menghadapi keaadaannya yg begitu nyata.
Merasakan penderitaannya sendirian.
Dan mengukur penderitaan diatas mimpi . . .

Walau dia hanya Bidadari tanpa sayap,
Tapi kelembutan hatinyalah yang membuatku merasa seperti.....
Berada di atas awan.

DIRIMU YANG SATU
Andai kau tahu
Apa isi hatiku ini ?
Apa yang ku rasakan saat ini ?

Jika kau bisa merasakan
Ku mohon... balas rasa ini !
Ku mohon ungkapkan rasa yang ada di hati mu !

Andai kau  tahu...
Hanya dirimulah yang ada di hati..
Hanya nama mu yang terukir di jiwa ..
Hanya wajah mu yag ada di bayangan ku...

Dirimu yang satu ...
Telah menebar cinta di hatiku
Telah membagi rasa indah di hati
Walau hanya aku yang merasakan

Cinta itu timbul ...
Saat ku lihat dirimu
Dan tiba-tiba saja rasa itu timbul
Di hati ku.......karna hanya dirimu di hati ...

 MELUKIS CINTA

Dapatkah aku melukis cinta untukmu?
Mengguratkan sejuta warna
yang bisa membuatmu indah..

Dapatkah aku melukis cinta untukmu?
Seperti notasi mimpi kupu-kupu
bersayap biru,
Terbang bersama menuju negeri pelangi..

Dapatkah aku melukis cinta untukmu?
Mengisyaratkan lelahku di jalan resah!

SELEMBAR PUISI UNTUK KEKASIH

Terpaku dalam kegundahan hati
Terasa tak dapat ku lawan dengan jari-jari
Tiada lagi tempat hari yang terasa ada
Hanya lelah
Lelah yang ku rasa……………

Andaikan waktu itu tak terjadi
Mungkin hatiku takan remuk seperti ini
Langkahku terhenti dalam kelamnya malam
Mataku terhalang jurang yang dalam
Pendengaranku sayup-sayup tak menentu
Hatiku terombang ambing dalam ombak kemarahan
Ragaku tak berkuasa untuk berfungsi
Mungkin tiada lagi yang dapat terjadi saat ini
Semangatku lemah hatiku susah
Teringat malam itu yang menyakitkan
Inikah kehidupan?

Kurasa semua bukan seperti ini
Mungkin masih ada titik terang
Yang akan menyinari kegelapan hati
Memberi pujian untuk diri sendiri
Meredamkan semua yang ada saat ini
Hingga aku dapat kembali ke kehidupan yang indah ini 

AKU MOHON DENGAN SANGAT KEPADAMU
Kembalilah wahai sayangku
Kembali padaku
Cintailah aku setulus hatimu
Karena aku tak bisa hidup tanpamu
Dan bila suatu saat nanti

Aku pergi
Bukan karena aku menyerah
Namun ku pergi karena waktu
Dan ruang yang memisahkan kita
Apabila itu terjadi
Maafkanlah bila aku
Tiada lagi disisimu

Karena kita terpisah ruang dan waktu
Bila saja waktu memihakku
Sejak dari awal sejal terakhir ku bertemu denganmu
Harusnya ku bilang sayang
Ku bilang cinta
Karena semua itu milikmu

Kemudian
Tetaplah jalani mimpimu
Meski saat itu nanti tak bersamaku
Karena bagiku
Bahagiamu damaikan hatiku. . .

RASA CINTAKU

Kau tiba-tiba hadir dan isi hatiku yang kosong...
Hanya kau yang ada dipikiranku sekarang...
Aku tak tau bagaimana caramu mengisi hatiku...
Engkau sungguh membuatku tak mengerti...
Rasanya hatiku jadi tak menentu...
Untukku kau sangat berharga...
Lihatlah diriku ini yang berjuang untuk cintamu...

Aku sangat mencintaimu
Namun kau tak pernah sadari itu
Walau perih hati ini...
Aku disini kan selalu setia menantimu...
Rasakanlah cintaku ini begitu besar untukmu...

TERINGAT DIRIMU SELAMANYA

Dalam luang waktu ku coba lupakan
Sejenak memendam kisah lama yang silam
Melihat pelangi yang kini t'lah kelam
Gelap gulita dan sunyi mencekam

Nampak hadirmu dalam ingatan
Terlihat jelas tapi menyakitkan
Walau terasa kau ku dambakan
Membuat aku dalam kesepian

Meski kau ku cinta tapi tak sebaliknya
Kau yang ku puja takkan terlupa
Seringkali kau nampak senangkan
Dan tak jarang kau juga menyakitkan

Kerinduan ini membuatku gila
Kehilangan dirimu sebuah luka
Berangan aku tuk selamanya
Hingga mati pun slalu bersama

Dan mungkin seandainya nanti
Mentari tak bersinar lagi
Kau tetap dan s'lalu disisi
Menemaniku dalam indahnya surgawi

Cinta yang Agung

Adalah ketika kamu menitikkan air mata
dan masih peduli terhadapnya..
Adalah ketika dia tidak mempedulikanmu dan kamu masih
menunggunya dengan setia..
Adalah ketika dia mulai mencintai orang lain
dan kamu masih bisa tersenyum sembari berkata ‘Aku
turut berbahagia untukmu’
Apabila cinta tidak berhasil
…Bebaskan dirimu…
Biarkan hatimu kembali melebarkan sayapnya
dan terbang ke alam bebas lagi..
Ingatlah…bahwa kamu mungkin menemukan cinta dan
kehilangannya..
tapi..ketika cinta itu mati..kamu tidak perlu mati
bersamanya
Orang terkuat BUKAN mereka yang selalu
menang..MELAINKAN mereka yang tetap tegar ketika
mereka jatuh..


Pada Kamu

Aku melihat suara lewat matamu
Saat bibirmu tertutup rapat
Tapi jelas membuatku makin
menatapmu bersama degup jantungku
yang tak pernah menentu…

Apa pernah kamu mendengar cinta
yang tak bersuara meneriakkan
manisnya kesedihan ?
itulah aku yang ada di kamu
pada sebilah cinta
yang tlah menggores hati
sedalam dalamnya …

Aku melihat suara lewat senyummu
saat matamu terjemahkan rindu
hmm…aku kian terpesona pada indahnya
kamu..
pada cantiknya
kamu

Aku melihat suara setiap saat
lewat segalamu
tentang kamu


Cinta Tersirat

Di terangnya purnama
Kau beri aku cerita
Dengan irama genggaman jemari lentik
Pada jemariku
Setiap sesinya begitu indah
Ciptakan gemuruh
Hingga darahku mendidih

Ah,
Temeramnya terang purnamapun
terpancar sampai ke wajahmu
manakala kau tersenyum
bangkitkan mataku tuk menembus
peraduan hati
tempat dimana segala cerita
bertutur cinta
dengan kesyahduannya

Di terangnya purnama
Aku dan kamu
Telah terjalin irama kasmarannya jiwa
Yang kan berjalan telusuri
Setiap titian aral dan lara
Pada muara yang belum terlihat nyata


Sejati Cintamu

Detik perdetik
Selalu ada cinta dibalik namamu
Kian kutelaah
Malah semakin kentara saja
Aku terjerembab
Aku terjerumus
Pada jurang kerinduan
Ah, ternyata masih dari balik namamu
Hingga selalu ada cinta
Kian detik ini

Tak bisa kuberlari tuk menghindar
Sampai kau dapat persembahkan aku
Cinta yang kentara dari balik namamu
Tapi rasanya tak sanggup
kuperbuat lain
selain dari kamu
Cintamu…
Kian detik ini

Sayang,
Pada saatnya nanti
Tiada ada nama lain
Dibalik nama cinta
Adalah namamu
Nama cinta
dialah kamu….


Look ! Eyes Have Been Said A Love

Kamu yang sekarang memenuhi relung hatiku.
Kamu yang sekarang menghias mimpi-mimpi kelamku.
Kamu yang mewarnai kehidupanku.
Kamu yang menorehkan kenangan dikepalaku.

Langit diatas berbisik kekelaman kepadaku.
Memenuhi telinga halusku akan godaan memilikimu.
Tak sanggup menolak, namun tak bisa juga menerima.
Langit tetap setia membisikkan hal itu bahkan ketika aku berkelana di
alam mimpi.
Sungguh suatu kesetiaan yang sudah lama kunantikan.

Aku tertunduk ketika tahu hanya bisa berharap.
Aku terdiam ketika memahami bahwa cinta tak mesti memiliki.
Melepasmu tertawa bersama yang lain.
Merelakanmu mencintai yang lain.

Tampakkah dimataku ketika menatapmu, ketika berbicara padamu ?
Tampakkah cinta disetiap tawa yang coba aku hadirkan padamu?
Tatap, pahami dan resapi.
Hatiku remuk, namun demi kamu aku rela.

Cinta yang kurasakan tak sempat terungkap.
Bagai kayu yang tak sempat memohon ketika api memanjakannya.
Cinta yang kurasakan tak sempat terbalas.
Bagai tumbuhan yang tak sempat merasakan lembutnya air hujan.


When I'm Missing You

Kangen yang tak berujung menghampiri hati.
Rindu yang tak berdosa menyambangi jiwa.
Terdiam.
Aku kembali terdiam.

Pertemuan singkat tadi melegakan jiwa.
Dinginnya hati kembali menghangat melihat sosok dirimu.
Hanya obrolan singkat yang keluar dari mulutku.
Menahan hasrat ingin memeluk dirimu.

Ketika kangen.
Sampaikanlah pada malam.
Ketika rindu.
Sampaikanlah pada angin.

Malam yang setia akan menyampaikan kangen.
Angin yang tenang menyejukkan akan menyampaikan rindu.
Rindu yang kurasakan bermekaran tanpa meminta pupuk.
Rindu yang kualami tumbuh tanpa meminta aliran air.

Jemariku mengeluarkan hasrat rindu.
Kata-kata kurangkai mengalirkan hasrat rindu.
Lidahku sunyi menahan siksaan hasrat rindu.
Pikiranku penuh memuat hasrat rindu.

Aku rindu kamu.
Aku kangen kamu.
Tak ada keraguan atas itu.
Yakinlah,
seyakin cintaku yang mencintaimu . . .


Love = Cinta

Jamahlah rinduku yang tertuang di lepas malam ini.
Hirup wangi cinta yang semerbak mewangi mengiringi rindu.
Bayang wajahmu menghiasi relung hatiku.
Mewarnai sukma pemandangan jiwa.

Rasa yang dulu terkubur ntah dimana.
Kini bangkit.
Khayalku tak mampu menerka mengapa itu bisa terjadi.
Aku hanya tahu, aku cinta kamu.

Jalinan cinta kita yang suci tanpa noda.
Terhiasi bulir-bulir kenangan indah.
Bersama kita lewati jalan romansa ini.
Taklukkan halang rintang yang setia menemani.

Rembesan hujan tadi menjadi saksi bisu.
Kecupan hangat kuhaturkan untuk menenangkan hatimu.
Menyalurkan cinta.
Menawarkan keraguan hati.

Dengarkanlah bisik hatiku.
Pahamilah bisik hatiku.
Rasakanlah bisik hatiku, dan
Sambutlah bisik hatiku.

Bersama kita tanam benih cinta ini.
Menuai bersama ketika semi datang.
Bertahan saat gugur menyapa.
Mendinginkan ketika panas menyentuh, dan
Menghangatkan saat dingin memeluk.

Ketika ragu menghampiri.
Percayalah aku akan menyeka keraguan itu.
Ketika luka menggoresmu.
Percayalah aku yang memegang penawar luka itu.

Ketahuilah,
Mengertilah,
Tetapkanlah, bahwa
Love = Cinta . . .

Read More

Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan

Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan

Persamaan Kuadrat, Fungsi  Kuadrat

dan Pertidaksamaan

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab:         (x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 =  x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab:    2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.

Jawab:   2 x² – 8 x + 7 = 0

2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x² – 8 x + 8 = 1

2 (x² – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)² = 1

(x – 2)² = ½

x – 2 =    atau x – 2 = –

x = 2 + Ö2   atau x = 2 –Ö2

Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + Ö2   dan   2 – Ö2.

1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
3. Salah satu akar x² – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x² + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar

1. x² – 3x + 2 = 0                                                                     f.   –2x² + 8x – 9 = 0
2. 3x² – 9x = 0                                                                         g.   –6x² + 10xÖ3 – 9 = 0
3. 6x² – 13x + 6 = 0                                                                h.   x² – 2xÖ3 – 1 = 0
4. 5p² + 3p + 2 = 0                                                                  i.   x² + x – 506 = 0
5. 9x² – 3x + 25 = 0                                                                j.   x² – x + Ö2 = 2

1. 2x – x(x + 3) = 0                                                              c.   (x – 3)² + 2(x – 3) – 3 = 0
2. (x – 3) (x + 2) – 2x² + 12 = 0                                          d.

berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm². Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!

2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.

Apabila:

1. D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
2. D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
3. D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² + 5 x + 2 = 0
2. x² – 10 x + 25 = 0
3. 3 x² – 4 x + 2 = 0

Jawab :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

1. x² – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25

D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena  D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

1. 3 x² – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x² – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

Latihan 2

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

1. x² + 6x + 6 = 0
2. x² + 2x + 1 = 0
3. 2x² + 5x + 5 = 0
4. –2x² – 2x – 1 = 0
5. 6t² – 5t + 1 = 0
6. 4c² – 4c + 3 = 0

1. Tentukan nilai  p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!

1. 4x² + 8px + 1 = 0
2. 4x² – 4px + (4p – 3) = 0
3. px² – 3px + (2p + 1) = 0

1. Persamaan  x² – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
2. Buktikan bahwa persamaan  x² – px – (p + 1) = 0  mempunyai dua akar real berlainan!
3. Buktikan bahwa    mempunyai dua akar real berlainan!

3.      Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0

x² + x + = 0

Karena  x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi,  ,   .

Contoh:

Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂ d.
2. x₁.x₂ e.   x₁³ + x₂³
3. x₁² + x₂²

Jawab:          x² – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4

a.   x₁ + x₂ = 3

b.   x₁.x₂ = 4

c.   x₁² + x₂² = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂

= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1

e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³

= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ +  x₂) + x₂³

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)

= 3³ – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Latihan 3

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
2. Akar-akar persamaan x² + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax² – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
5. Akar-akar persamaan x² + ax + b = 0 adalah x₁ dan x₂.

1. x² – 5x + 7 = 0                                                                     d.   bx² + ax + c = 0
2. 2x² – 7 = 0                                                                           e.
3. 4x² – 3x = 0                                                                         f.   (x – p)² + (x – q)² = p² + q²

1. p² + q²
2. (p + 2) (q + 2)
3. (p – 2q) (q – 2p)

Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui x_i² – x₁x₂ + x₂² = 5.

4.     Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v  menggunakan perkalian faktor,

v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar

persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab:   (x – x₁) (x – x₂) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x² – 3 x + 2 x – 6 = 0

x² – x – 6 = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan  !

Jawab:   (x – ) (x – ) = 0

= 0

6 x² – 2 x – 3 x + 1 = 0

6 x² – 5 x + 1 = 0

1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab:   x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5

x₁ x₂ = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0   atau   x² + 5x + 6 = 0.

1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  ®  x₁ + x₂ =  2  ,  x₁ x₂ = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan  q =  x₂ +3

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                                 p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)

= x₁ + x₂ + 6                                                  = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9

= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0.

Jawab:

Misalkan akar-akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂ serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x₁ dan  b = 2x₂

a + b = 2(x₁ + x₂) = 2

a b = 2x₁ . 2x₂ = 4x₁ x₂ = 4 .  = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x² – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah    x² – 3x + 2 = 0..

Latihan 4

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
2. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah  dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
3. Akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
5. Diketahui persamaan 2x² – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

1. 1 dan 3
2. 2 dan -4
3. -1 dan -5
4. –Ö2  dan  2Ö2
5. (p + q)  dan  (p – q)

1. (a + 1)  dan  (b + 1)
2. (a– 3)  dan  (b– 3)

1. 4a dan 4b
2. –a  dan  –b
3. (2a + 1)  dan  (2b + 1)
4. a² dan  b²

1. berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
2. kebalikan akar persamaan yang diketahui.

B.    Fungsi Kuadrat

1. 1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

1. Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

p² – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Periksalah jawaban itu.

1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)       f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

Latihan 5

1. Diketahui: f(x) = x² – 4x – 6

Ditanya:        a. nilai pembuat nol fungsi

b. nilai f(x) , jika x = 0

c. f(2) , f(–1) , f(p)

1. Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
2. Fungsi kuadrat f(x) = 2x² – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
3. Nilai maksimum f(x) = ax² + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
4. Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

1. f(x) = x² + 4x + 4
2. f(x) = 2x² – 4x + 3
3. f(x) = –3 x² + 12x – 8
4. f(x) = –7 + 12x – 3x²
5. f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
6. f(x) = (2x – 1)²

1. 3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x² + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

Gambar 7.1                                                           Gambar 7.2

Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2

• Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
• Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
• Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
• Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x² + b x + c = 0. Karena a x² + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).

D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x₁ , 0)  dan  (x₂ , 0).

D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2)       Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3)       Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4)       Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

• Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x² + b x + c berbentuk parabola.
• Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
• Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3  untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3   dan  x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3)

Sumbu simetri, garis

Titik puncak  ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi

y = x³ – 2x – 3.

Latihan 6

1. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:

1. y = x² – 4x – 5                                                                  c.   y = -2x² + 5x – 3
2. y = x² + 4x + 4                                                                  d.   y = 2x² – 5x + 4

1. Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!

1. Grafik fungsi kuadrat y = 2x² – px + 3  mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:

1. y = x² – 6x + 8                                                                  d.   y = x² – 2
2. y = (x – 5)² e.   y = –x² + 3
3. y = 16 – x² f.   y = x² + 2x + 2

4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

1. melalui tiga titik yang berlainan.
2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah  y = a x² + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)² + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)² + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)² + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

(1)   a – b + c = 0 (2)    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0

(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0

–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6

b = 4                                               – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x² + 4x + 6.

b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x² + b x + c sehingga  0= ap² + bp + c dan

0= aq² + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p² – q²) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p² – q²)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q)   ke   ap² + bp + c = 0

ap² + (– a(p + q)) p + c = 0

ap² – ap² – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk  b = – a(p + q)  dan  c = pqa maka

y = a x² + b x + c Û  y = ax² – a(p + q)x + pqa

= a(x² – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3  – 1)

=  –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x² + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.

1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)² + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)² + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)² + 3

y = –3 (x² – 2x + 1) + 3

y = –3x² + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)²

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)² = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau  y = x² – 4x + 4.

Latihan 7

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, –2)

1. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !

1. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax² + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!

1. Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1). Tentukan persamaan parabola!

1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik

(–2, –11). Tentukan fungsi kuadratnya!

1. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

1. Grafik fungsi y = (p+3)² – 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!

C. Pertidaksamaan

1. Pertidaksamaan Linear

Berdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :

1. Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.

Contoh :  2 x + 3 < 5

1. Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.

Contoh :  x + 5 < 2x + 10

1. Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh  x + 8 < x + 4

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !

Jawab :

2 x + 4 > x + 3

2 x – x > 3 – 4

x > – 4

Contoh 2 :

Selesaikanlah  3 x + 5 < 5 x + 7 !

Jawab :

3 x + 5 < 5 x + 7

3 x – 5 x < 7 – 5

- 2 x < 2

x > –1   (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,

tanda pertidaksamaan berubah)

Latihan 8

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. 4 x > 12                                                                                   6.   2 x + 1 £ 5 x – 4
2. – 2 x < 7                                                                                  7.   – 8 x + 2 ³ 5 x – 10
3. 4 + 3 x ³ – 8                                                                            8.
4. 9 – 3 x £ 6                                                                               9.
5. 2 x + 3 £ x + 4                                                                        10.

Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !

1. p x – p < 0                                                                               13.  p x + q x < p + q
2. a x £ a³ 14.  a x + 1 > x + a

Tentukan nilai x yang memenuhi:

1. 16

1. Pertidaksamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :

1. Jadikan ruas kanan nol.
2. Uraikan ruas kiri atas faktor linear
3. Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
4. Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
5. Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
6. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 2x – 8 ³ 0 !

Jawab :

x² – 2 x – 8 ³ 0

(x – 4 ) (x + 2) ³ 0

Garis bilangan :

+ + + + + |  – - – - – -  | + + + +

–2                 4

Nilai x yang memenuhi :

x £ –2   atau   x ³ 4

Contoh 2 :

Selesaikan   3 x² + 2 x < 3 – 6 x !

Jawab :

3 x² + 2 x < 3 – 6 x

3 x² + 2 x + 6 x – 3 < 0

3 x² + 8 x – 3 < 0

(3 x – 1) (x + 3) < 0

Nilai pembuat nol : 3x – 1 = 0           dan         x + 3 = 0

3x = 1                                   x = –3

x =

Garis bilangan

+ + + +  | – - – - – - – - – | + + + + +

o                             o

–3

Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah  –3 < x <

Latihan 9

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. x² + x – 2 < 0                                                                          6.   15 – 7 x £ 2 x²
2. x² – 16 < 0                                                                              7.   4 x² – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x²
3. 9 – x² > 0                                                                                 8.   5 x² + 15 x £ 2 (x + 3)
4. x² – x < 3 x 9.   3 – 2 x £ 9 x – 6 x²
5. 2 x – x² ³ 0                                                                              10.  2 x² – 3 x – 5 ³ 0

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yaitu D = b² – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

1. a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.

Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat

a x² + b x + c = 0 , a ¹ 0 yang akar-akarnya x₁ dan x₂ .

a x² + bx + c = 0

a ¹ 0

D < 0                         D = b² – 4 a c D = 0

Akar imajiner                                                                                                                                   Akar kembar

(x₁ = x₂)

x₁ = 0 , x₂ ¹ 0            x₁ = – x₂ x₁ =              x₁ = + , x₂ = +             x₁ = – , x₂ = – x₁ = – , x₂ = +

c = 0                         berlawanan        kebalikan         a, c tanda sama             a,b,c tanda                 a,  c tanda

b = 0               a = c b berbeda                            sama                          berbeda

Contoh 1 :

Tentukan nilai p agar x² – 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :

1. akar kembar
2. kedua akar tandanya berlawanan

Jawab :

1. x² – 2 p x + 2p + 15 = 0                                              b.  Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x₁ . x₂ < 0

a = 1 ,  b = –2p dan  c = 2p + 15                            b² – 4 a c > 0                                 x₁ . x₂ < 0

Agar kedua akar kembar, maka D = 0                        (–2 p)² – 4 . 1 . (2 p + 15) > 0                         < 0

b² – 4 a c = 0                                      4 p² – 8 p – 60 > 0                             2 p + 15 < 0

(–2 p)² – 4 . 1 . (2 p + 15) = 0                                  p² – 2 p – 15 > 0                                       2 p < –15

4 p² – 8 p – 50 = 0                                  (p – 5) (p + 3) > 0                                   p < –7

p² – 2 p – 15 = 0                                 + + + +    – - – - – - – - -  + + + + +

(p – 5) (p + 3) = 0                                 o                      o

p = 5  atau p = –3                               –3                   5

Jadi nilai p adalah 5 dan –3                                                      p < –3  atau p > 5

Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :

o                             o

–3                           5

o

–7

Jadi : p < –7

Latihan 10

1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !
1. x² + 2 p x + 4 = 0
2. x² + px + p + 3 = 0

1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !
1. x² + p x + p = 0
2. x² – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
3. p x² + 3 x + p = 0

1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x² + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !

1. Persamaan x² + (2 m – 1) x + m² – 3 m – 4 = 0  mempunyai akar berlawanan. Tentukan nilai m !

1. Tentukan nilai m agar x² + 2 m x – m² + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
1. dua akar berlawanan
2. dua akar berlawanan tanda
3. dua akar positif

1. b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).

1. Berdasarkan tanda D = b² – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x² + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) > 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) < 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk  a < 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) < 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) > 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x² – 4 x – m + 2  definit positif.

Jawab:

f(x) = x² – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = (–4)² – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0  «  4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2

Contoh 2:

Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi  – 2 < x < 2  dan grafiknya melalui titik (3, 10) !

Jawab:

Fungsi kuadrat y = f(x)

y < 0  untuk –2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.

y = a(x + 2) (x – 2), melalui titik (3, 10) berarti

10 = a(3 + 2) (3 – 2)

= 5a

a = 2

Jadi, y = 2(x + 2) (x – 2)  atau y = 2x² – 8.

Latihan 11

1. Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!

1. y = x² – 7x + 10                                     b.   y = 6x² – 5x – 6              c.   y = 2x² + x – 6

1. Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!

1. y = x² – x – 2                                         b.   y = –x² + 2x + 8              c.    y = 2x² – 9x – 5

1. Tentukan batas-batas m supaya y = x² +6x + m positif untuk setiap nilai m !

1. Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !

1. y = x² – 2px + 3p + 4                            b.   y = (p + 2)x² – (2p + 1)x + (p – 2)

1. Tentukan nilai a supaya y = (a – 1)x² + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !

1. Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk  –2 < x < 4  dan mempunyai minimum –6 !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !

1. Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x² + mx + 2m² dan g(x) = x² + 2mx + m². Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !

1. c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola

Antara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:

v  garis memotong grafik

v  garis menyinggung grafik

v  garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.

Koordinat titik potong antara garis  y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Garis lurus ®  y = mx + n …(1)

Parabola ®  y = ax² + bx + c …(2)

Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh  ax² + (b – m)x + c – n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:

1)         D > 0  mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.

2)         D = 0  mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.

3)         D < 0  tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik potong garis  y = x + 5  dengan parabola  y = x² – 3x.

Jawab:   y = x + 5  dan  y = x² – 3x disamakan

x + 5 = x² – 3 x Untuk  x = 5  maka   y = 5 + 5 = 10

x² – 4 x – 5 = 0                                                      Untuk  x = –1  maka  y = –1 + 5 = 4

(x – 5) (x + 1) = 0

x = 5  dan  x = –1

Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1  dan  parabola y = x² – 3x

adalah  (5, 10) dan (–1, 4).

Contoh 2:

Tentukan nilai m, supaya garis  y = x + m menyinggung parabola y = x² – 2 .

Jawab:   y = x + m dan  y = x² – 2   disamakan

x + m = x² – 2

x² – 2x – 2m – 2 = 0

Syarat supaya bersinggungan: D = 0.

D = (-2)² – 4 . 1 (2m – 2) = 0

4 + 8m + 4 = 0

8m = –8

m = –1

Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.

Latihan 12

1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :
1. y = x + 1  dan  y = x² – x – 2
2. y = 3x – 8  dan  y = x² – 3x
3. y = –2x + 9  dan  y = 2x² – 4x + 7
2. Tentukan nilai m supaya garis  y = mx + 1 menyinggung parabola  !
3. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x² !
4. Ditentukan parabola  dan garis  y = x – 2 :
1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.
2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.
5. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis  y = x !
6. Tentukan m supaya garis  y = mx +2 menyinggung parabola y = mx² + x + 4 !
1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x² + 2 yang sejajar dengan garis  x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!
2. Fungsi kuadrat y = (m + 3)x² – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !
3. Fungsi kuadrat y = x² + (m + 2) x + 2 m – 4  grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !
4. Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x² +(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !

1. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :

1. Jadikan ruas kanan nol.
2. Faktorkan ruas kiri
3. Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.
4. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.
5. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: (x – 1)² (x + 2)³ (x – 3) > 0 !

Jawab :          (x – 1)² (x + 2)³ (x – 3) > 0

+ + + + + |  – - – - – - -  | – - – - -  | + + + + +

–2                   1              3

Jadi nilai x yang memenuhi adalah:  x < – 2     atau  x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan :  (2 – x)⁵ (x + 3) (x² + x + 1) > 0 !

Jawab :          x² + x + 1  adalah definit positif

Sehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :

(2 – x)⁵ (x + 3) > 0

- – - – - – - | + + + + + | – - – - – -

–3                 2

Nilai x yang memenuhi adalah :  –3 < x < 2

Latihan 13

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. (x² – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0                                               6.   (-2 + 3 x – 4 x²) (x + 4) (x – 3) < 0
2. (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0                                              7.   (x + 10)⁵ (x – 7)² (x + 5)² £ 0
3. (x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0                                                          8.   x⁴ – 13 x² + 36 ³ 0
4. (x – 5) (x +1)² (x + 3 > 0                                                           9.   x (x² – x – 2) (15 – 2x – x²) > 0
5. (2 – x)² (x + 3)⁵ (x – 1) < 0                                                       10. (x² – 2 x – 3) (x² + 4 x + 3) £ 0

1. Pertidaksamaan Pecahan

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :

1. Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.
2. Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol
3. Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan

berubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula

Contoh 1 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + +   – - – - – - – - – -  + + + +

o                     o

–2                  3

Nilai x yang memenuhi : x < –2   atau   x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + + +    – - – - – - – -    + + + +

o

–3                  1

Harga x yang memenuhi adalah –3 < x £ 1   (ingat penyebut tidak boleh nol)

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: !

Jawab :              Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan

x² + 2x – 8 ³ 0

(x + 4) (x – 2) ³ 0                                                    + + + +   |  – - – - – - – - |  + + + +

–4                  2                                Nilai x yang memenuhi adalah :   x £ –4   atau   x ³ 2

Latihan 14

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.

1. Pertidaksamaan Irasional

Cara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :

1. Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol
2. Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan

Contoh 1:

Selesaikan  !

Jawab :                                                            Syarat :

kuadratkan                           2 x – 1 ³ 0

2 x – 1 < 9                                                          2 x ³ 1

2 x < 10                                                                  x ³    . . . . . (2)

x < 5  . . . . . .(1)

o

5                                              Jadi :  £ x < 5

Contoh 2 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat I                                 Syarat II

kuadratkan                   2 x – 10 > 0                           2 – x ³ 0

2 x – 10 > 2 – x 2 x > 10                                2 ³ x

2 x + x > 2 + 10                                                              x > 5                                   x £ 2

3 x > 12

x > 4                                                            2                             4              5

Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi : !

Jawab :

Syarat I                 Syarat II

kuadratkan                    x + 3 > 0                 12 – 2x ³ 0

x + 3 > 12 – 2 x x > –3                        12 ³ 2x

x + 2 x > 12 – 3                                                                                                x £ 6

3 x > 9

x > 3                                                              –3                           3              6

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas :  3 < x £ 6.

Contoh 4 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat :

kuadratkan                      x² + 2 x ³ 0

x² + 2 x < x² + 6 x + 9                                                         x (x + 2) ³ 0

2 x – 6 x < 9                                                                          + +  | – - – - – - -| + + +

–4 x < 9                                                                               –2                     0

x >–2                                                                 x £ –2   atau   x ³ 0  …2)

o

–2       –2                           0

Hasil penyelesaian :   –2 < x £ –2   atau  x ³ 0

Latihan 15

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. < 3                                                                            6.
2. < 4                                                                            7.    < x – 2
3. < 5                                                                           8.    < 15 – x
4. 9.
5. 10.

1. Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :

| a | =

Contoh 1 :

| 70 | = 70                              | – 70 | = – (– 70) = 70                         | 0 | = 0

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan

Contoh 2 :

Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a positif !

Jawab :  | x | £ a

kuadratkan

x² £ a²

x² – a² £ 0

(x – a) (x + a) £0                   + + + +   – - – - – - – –  + + + +

–a                                a

Jadi ;      – a £  x £ + a

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !

Jawab :  | x | ³ a

kuadratkan

x² ³ a²

x² – a² ³ 0

(x – a) (x + a) > 0

(x – a) (x + a) ³ 0                  + + + +   – - – - – - – –  + + + +

– a                               a

Jadi         x £ – a atau x ³ a

Contoh 4 :

Selesaikan | x – 4 | < 3

Jawab ;

Cara I                                                                                    Cara II

| x – 4 | < 3                                                                             Dari jawaban contoh 1, diperoleh:

kuadratkan                                                 | x – 4 | < 3

(x – 4)² < 9                                                                             –3 < x – 4 < 3

x² – 8 x + 16 < 9                                                                   Jadi 1 <  x < 7

x² – 8 x + 7 < 0

(x – 1) (x – 7) < 0

+ + + + o  – - – - – - o + + + + +

1                    7

Jadi              1 < x < 7

Contoh 5 :

Selesaikan : | x + 2 | > 5 !

Jawab :

Cara I                                                                                    Cara II

| x + 2 | > 5                                                                             Dari jawaban contoh 2, diperoleh

kuadratkan                                           | x + 2 | > 5

(x + 2)² > 25                                                                          x + 2 < – 5    atau x + 2 > 5

x² + 4 x + 4 > 25                                                                   x < –7   atau   x > 3

x² + 4 x – 21 > 0

(x + 7) (x – 3) > 0

+ + + + o - – - – - – o + + + + +

-7                  3

Jadi  x < -7              atau       x > 3

Latihan 16

Selesaikan pertidaksamaan berikut :

1. | x | £ 4                                                                                     6.   | x² – 5 | £ 4
2. | x + 1 | > 2                                                                              7.   | x² – x – 1 | £ 1
3. | x² – 2 | > 1                                                                             8.   | 2 x² – 8 x – 1 | ³ 9
4. | x² – 4 x | > 0                                                                          9.    £ 1
5. | x² – 1 | < 7                                                                             10.  ³ 2

Persamaan Kuadrat

Read More